Módulo 3 : Productos notables y Factorización

 

Productos Notables

1. Cuadrados de la suma de dos cantidades

2. Cuadrado de la diferencia de dos cantidades

3. Suma por la diferencia de dos cantidades

4. Cubo de la suma (diferencia) de dos cantidades

5. Producto de dos binomios con un término común

Desarrollo

1. Cuadrados de la suma de dos cantidades

Regla del cuadrado de la suma de dos cantidadesEl cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, más dos veces la primera cantidad por la segunda, más el cuadrado de la segunda cantidad.

( a + b )2

=

a2

+

2ab

+

b2

El cuadrado de la suma de dos términos es igual al cuadrado del primer término más el doble producto de ambos términos más el cuadrado del segundo término.

ejemplo: desarrolle el siguiente producto notable 

( 5x + 7 )2

 

1)

a)		El cuadrado del 1er término es (5x)(5x) = 25x2
b)		El doble producto de ambos términos es 2(5x)(7)=(10x)(7) = 70x
c)		El cuadrado del 2do término es (7)(7) = 49

 

Entonces Respuesta

( 5x + 7 )2

=

25x2

+

70x

+

49

2. Cuadrado de la diferencia de dos cantidades

( a - b )2

=

a2

-

2ab

+

b2

El cuadrado de la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad menos el duplo (doble) de la primera cantidad por la segunda, mas el cuadrado de la segunda cantidad.

Ejemplo   

a)

El cuadrado del 1er término es (3x)(3x) = 9x2

b)		El doble producto de ambos términos es 2(3x)(8 y2)=
- 48xy2 c)		El cuadrado del 2do término es (8 y2 ) (8 y2 ) = 64 y4

Entonces

( 3x - 8y2 )2

=

9x2

-

48xy2

+

64y4

3. Suma por la diferencia de dos cantidades

( a + b ) ( a - b )

=

a2

-

b2

La suma de dos términos multiplicada por su diferencia es igual al cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo término.

1)

Ejemplo

( 4x + 9y )

( 4x - 9y )

=

a) El cuadrado del 1er término es (4x)(4x) = 16x²

b) El cuadrado del 2do término es (9y)(9y) = 81y²

Entonces

( 4x + 9y )

( 4x - 9y )

=

16x2

-

81y2

4. Cubo de la suma y diferencia de dos cantidades

( a + b )3

=

a3

+

3a2b

+

3ab2

+

b3

El cubo de la suma de dos términos es igual al cubo del primer término más el triple del cuadrado del primer término por el segundo término más el triple del primer término por el cuadrado del segundo término más el cubo del segundo término.

( a - b )3

=

a3

-

3a2b

+

3ab2

-

b3

El cubo de la diferencia de dos términos es igual al cubo del primer término menos el triple del cuadrado del primer término por el segundo término más el triple del primer término por el cuadrado del segundo término menos el cubo del segundo término.

5. Producto de dos binomios con un término común

(x + a )(x + b )

=

x2

+

(a+b)

x

+

ab

El producto de dos binomios de esta forma que tienen un término común es igual al cuadrado del término común más la suma de los términos no comunes multiplicado por el término común más el producto de los términos no comunes.

FACTORIZACIÓN 

1. Factor común monomio

2. Factor común polinomio

3. Factor común por agrupación de términos 

4. Trinomio cuadrado perfecto

5. Trinomio de la forma x2 +bx+c

6. Trinomio de la forma ax2 + bx +c

7. Diferencia de cuadrados perfectos 

8. Suma o diferencia de cubos perfectos

9. Reconocimiento de los diferentes casos de factorización.

Desarrollo

1. Factor común monomio

Un factor común monomio es el monomio más grande que puede dividir de manera uniforme dos o más monomios. También se le conoce como máximo común divisor (MCD).

Para encontrar el factor común monomio, se puede: 

• Hallar el máximo común divisor de los coeficientes.
• Hallar la(s) variable(s) común con su menor exponente.
• Aplicar la propiedad distributiva.

• Factor común polinomio

Un factor común de un polinomio es un número, una variable, o una combinación de ambos que aparece en todos los términos del polinomio. Para factorizar un polinomio por factor común, se debe:

1.  Encontrar el factor común en todos los términos del polinomio.

2. Dividir cada término del polinomio por el factor común.
3. Colocar el resultado dentro de paréntesis.

Para encontrar el factor común, se puede:

Determinar el número mayor que divida a todos los coeficientes del polinomio.

• Identificar las literales comunes de menor exponente que se encuentren entre todos los términos del polinomio.
• Factorizar un polinomio consiste en descomponerlo en un producto de otros polinomios de menor grado

Factor común por agrupación de términos 

El factor común por agrupación de términos es un procedimiento algebraico que permite escribir expresiones algebraicas como factores, aunque no todos los términos tengan algo en común. 

Este proceso se realiza de la siguiente manera:

• Agrupar los términos del polinomio en pares de dos términos, de manera que cada par tenga un factor común. 
• Factorizar los máximos comunes divisores (MCD) de cada grupo. 
• Obtener un factor común entre los dos términos y factorizarlo usando la propiedad distributiva. 
• Un factor común puede ser un número, una variable o una combinación de ambos. 

más sobre factor común 

• Trinomio cuadrado perfecto

Un trinomio cuadrado perfecto (TCP) es un polinomio de tres términos que se obtiene al elevar al cuadrado un binomio. Para que un polinomio sea un TCP, debe cumplir con las siguientes características: 

• El primer y tercer término deben ser cuadrados perfectos, es decir, tener raíz cuadrada exacta
• El segundo término debe ser el resultado del doble producto de las raíces cuadradas de los extremos

Por ejemplo, (x + 3)2 = (x + 3)(x + 3) = x2 + 6x + 9 es un trinomio cuadrado perfecto.

Para factorizar un TCP, se pueden seguir los siguientes pasos: 

1. Extraer la raíz cuadrada de los términos que son cuadrados perfectos
2. Separar por el signo que tiene el término que no lo es
3. Elevar el binomio al cuadrado

Tiene la forma a² + 2ab + b² y se llama así porque es el resultado de elevar al cuadrado la suma de los términos a y b. En otras palabras, su forma factorizada se escribe como (a+b)²

Trinomio de la forma x2 +bx+c

Este tipo de trinomio tiene las siguientes características:

 

• •       Tienen un término positivo elevado al cuadrado y con coeficiente 1 (coeficiente).
• •       Posee un término que tiene la misma letra que el termino anterior pero elevada a 1 (bx) (puede ser negativo o positivo).
• •       Tienen un término independiente de la letra que aparece en los otros dos (+ o -).

Un ejemplo de un trinomio de la forma

$x^2+bx+c$

es

$x^2+13x+36=(x+4)(x+9)$

Trinomio de la forma ax2 + bx +c

Diferencia de cuadrados perfectos 

La diferencia de cuadrados se define como la resta del cuadrado del primer término menos el doble del producto de ambos términos, seguido por la suma del cuadrado del segundo término.

Suma o diferencia de cubos perfectos

La suma de cubos, es la suma de dos números o variables elevadas al cubo. La suma de dos cubos perfectos se descompone en dos factores, el primero es la suma de sus raíces cúbicas, y el segundo se compone del cuadrado de la primera raíz menos el producto de ambas raíces mas el cuadrado de la segunda raíz.

Ejemplo

Procedimiento para factorizar:

1. Se extrae la raíz cúbica de cada término del binomio.

2. Se forma un producto de dos factores.

3. Los factores binomios son la suma de las raíces cúbicas de los términos del binomios.

4. Los factores trinomios se determinan así: El cuadrado de la primera raíz menos el producto de estas raíces más el cuadrado de la segunda raíz.

Reconocimiento de los diferentes casos de factorización.

de clic en el link

tabla de diferentes casos de factorización por el profesor julio- créditos al autor